Question

已知：如图，点是正比例函数与反比例函数的图象在第一象限的交点，轴，垂足为点，的面积是2.

（1）求的值以及这两个函数的解析式；

（2）若点在轴上，且是以为腰的等腰三角形，求点的坐标.

Answer

（1），反比例函数的解析式为，正比例函数的解析式为.（2）点的坐标为，，.

【解析】

（1）根据三角形的面积公式即可求m的值，即可得点A的坐标，将其代入两个函数的解析式可求出的值，从而可得两个函数的解析式；

（2）先用勾股定理求出OA的长，然后根据题意，可以分OP为腰和OP为底两种情况当OP为腰时，利用即可得；当OP为底时，利用等腰三角形三线合一的性质得，点B为OP的中点即可得.

（1）由题意知，

∵的面积是2，

即，

解得，

点A的坐标为，

代入正比例函数可得，则

正比例函数的解析式为，

将点A的坐标代入反比例函数得，则，

反比例函数的解析式为；

（2）∵是以为腰的等腰三角形，

∴或.

①当时，∵点的坐标为，

∴，

∴，

∴点的坐标为或；

②当时，

则（等腰三角形三线合一的性质）

∴点的坐标为.

综上所述：点的坐标为，，.