Question

如图，∠MBC和∠NCB是△ABC的外角，点O是∠MBC和∠NCB的平分线的交点，点O叫做△ABC的旁心.

(1)已知∠A＝100°，那么∠BOC等于多少度；

(2)猜想∠BOC与∠A有什么数量关系?并证明你的猜想.

Answer

（1）40；（2）90°-∠A，见解析．

【解析】

（1）根据BO平分∠MBC，CO平分∠NCB，即可得到∠OBC=∠MBC，∠OCB=∠NCB，利用三角形外角性质，即可得出∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），再根据∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB进行计算即可．
（2）利用（1）中的方法，即可得到∠BOC与∠A的数量关系．

【解析】
（1）∵BO平分∠MBC，CO平分∠NCB，
∴∠OBC=∠MBC，∠OCB=∠NCB，
∵∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB
=180°-（∠A+∠ACB）-（∠A+∠ABC）
=180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=180°-（180°+∠A）
=90°-∠A
=90°-×100°
=40°，
故答案为：40；
（2）猜想：∠BOC=90°-∠A．
证明：∵BO平分∠MBC，CO平分∠NCB，
∴∠OBC=∠MBC，∠OCB=∠NCB，
∵∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB
=180°-（∠A+∠ACB）-（∠A+∠ABC）
=180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=180°-（180°+∠A）
=90°-∠A．

故答案为：（1）40；（2）90°-∠A，见解析．