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如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,且B...

如图所示,在ABC中,AB=AC,点DEF分别在ABBCAC边上,且BE=CFBD=CE 

1)求证:DEF是等腰三角形   

2)当∠A=50°时,求∠DEF的度数   

3)若∠DEF=AFD=4,求DEF的周长

 

(1)见解析;(2)65°;(3)12 【解析】 (1)根据等腰三角形性质等边对等角得∠1=∠2,由全等三角形判定SAS得△BDE≌△CEF,由全等三角形性质得DE=EF,根据等腰三角形的判定即可得证. (2)由(1)知△BDE≌△CEF,根据全等三角形的性质可得∠BED=∠CFE,∠BDE=∠CEF,由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理∠BED+∠CEF=115°,在由三角形内角和定理即可求得答案. (3)由(1)知△BDE≌△CEF,根据全等三角形的性质可得∠BED=∠CFE,∠BDE=∠CEF,又三角形内角和定理可得∠B=∠DEF,根据等边三角形的判定得△ABC为等边三角形,△DEF为等边三角形,从而求得答案. (1)证明:∵AB=AC, ∴∠1=∠2, 在△BDE和△CEF中, ∵, ∴△BDE≌△CEF(SAS), ∴DE=EF, ∴△DEF为等腰三角形. (2)【解析】 由(1)知△BDE≌△CEF, ∴∠BED=∠CFE,∠BDE=∠CEF, 又∵∠A=50°,AB=AC, ∴∠B=∠C=65°, ∴∠BED+∠BDE=115°, 即∠BED+∠CEF=115°, ∵∠BED+∠CEF+∠DEF=180°, ∴∠DEF=180°-∠BED-∠CEF, =180°-115°, =65°. (3)【解析】 由(1)知△BDE≌△CEF, ∴∠BED=∠CFE,∠BDE=∠CEF, ∵∠BED+∠BDE+∠B=180°,∠BED+∠CEF+∠DEF=180°, ∴∠B=∠DEF, ∵∠A=∠DEF,AB=AC, ∴∠A=∠B=∠C, ∴△ABC为等边三角形, ∴∠A=∠DEF=60°, 又∵DE=EF, ∴△DEF为等边三角形, ∵FD=4, ∴C△DEF=3×4=12.
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