Question

如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．

（1）求抛物线的解析式．

（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．

（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=﹣x2+2x+3；（2）①Q（2，3）；②Q2（， ），Q3（，）；（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，MN=9或．理由见解析.

【解析】

（1）设出抛物线顶点坐标，把C坐标代入求出即可；

（2）由△BCQ与△BCP的面积相等，得到PQ与BC平行，①过P作作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示；②设G（1，2），可得PG=GH=2，过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，分别求出Q的坐标即可；

（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，如图2所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线解析式为y=-x+b，与二次函数解析式联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系表示出NF2，由△MNF为等腰直角三角形，得到MN2=2NF2，若四边形MNED为正方形，得到NE2=MN2，求出b的值，进而确定出MN的长，即为正方形边长．

（1）设y=a（x﹣1）2+4（a≠0），

把C（0，3）代入抛物线解析式得：a+4=3，即a=﹣1，

则抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；

（2）由B（3，0），C（0，3），得到直线BC解析式为y=﹣x+3，

∵S△OBC=S△QBC，

∴PQ∥BC，

①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示，

∵P（1，4），∴直线PQ解析式为y=﹣x+5，

联立得：，

解得：或，即Q（2，3）；

②设G（1，2），∴PG=GH=2，

过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，则直线Q2Q3解析式为y=﹣x+1，

联立得：，

解得：或，

∴Q2（，），Q3（，）；

（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，

如图2所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，

设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN解析式为y=﹣x+b，

联立得：，

消去y得：x2﹣3x+b﹣3=0，

∴NF2=|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=21﹣4b，

∵△MNF为等腰直角三角形，

∴MN2=2NF2=42﹣8b，

∵NH2=（b﹣3）2，∴NF2=（b﹣3）2，

若四边形MNED为正方形，则有NE2=MN2，

∴42﹣8b=（b2﹣6b+9），

整理得：b2+10b﹣75=0，

解得：b=﹣15或b=5，

∵正方形边长为MN=，

∴MN=9或．