Question

如图，在△ABC中，BC＞AC，点E在BC上，CE=CA，点D在AB上，连接DE，∠ACB+∠ADE=180°，作CH⊥AB，垂足为H．

（1）如图a，当∠ACB=90°时，连接CD，过点C作CF⊥CD交BA的延长线于点F．

①求证：FA=DE；

②请猜想三条线段DE，AD，CH之间的数量关系，直接写出结论；

（2）如图b，当∠ACB=120°时，三条线段DE，AD，CH之间存在怎样的数量关系？请证明你的结论．

Answer

（1）①证明见解析；②DE+AD=2CH；（2）AD+DE=CH．

【解析】

试题（1）①根据ASA证明△AFC≌△EDC，可得结论；

②结论是：DE+AD=2CH，根据CH是等腰直角△FCD斜边上的中线得：FD=2CH，再进行等量代换可得结论；

（2）如图b，根据（1）作辅助线，构建全等三角形，证明△FAC≌△DEC得AF=DE，FC=CD，得等腰△FDC，由三线合一的性质得CH，是底边中线和顶角平分线，得直角△CHD，利用三角函数得出HD与CH的关系，从而得出结论．

试题解析：（1）①∵CF⊥CD，∴∠FCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠FCA+∠ACD=∠ACD+∠DCE，∴∠FCA=∠DCE，∵∠FAC=90°+∠B，∠CED=90°+∠B，∴∠FAC=∠CED，∵AC=CE，∴△AFC≌△EDC，∴FA=DE，②DE+AD=2CH，理由是：

∵△AFC≌△EDC，∴CF=CD，∵CH⊥AB，∴FH=HD，在Rt△FCD中，CH是斜边FD的中线，∴FD=2DH，∴AF+AD=2CH，∴DE+AD=2CH；

（2）AD+DE=CH，理由是：

如图b，作∠FCD=∠ACB，交BA延长线于F，∵∠FCA+∠ACD=∠ACD+∠DCB，∴∠FCA=∠DCB，∵∠EDA=60°，∴∠EDB=120°，∵∠FAC=120°+∠B，∠CED=120°+∠B，∴∠FAC=∠CED，∵AC=CE，∴△FAC≌△DEC，∴AF=DE，FC=CD，∵CH⊥FD，∴FH=HD，∠FCH=∠HCD=60°，在Rt△CHD中，tan60°=，∴DH=CH，∵AD+DE=AD+AF=FD=2DH=CH，即：AD+DE=CH．