Question

如图，等腰Rt△ABD中，AB＝AD，点M 为边AD上一动点，点E在DA的延长线上，且AM＝AE，以BE为直角边，向外作等腰Rt△BEG，MG交AB于N，连NE、DN．

（1）求证：∠BEN＝∠BGN．

（2）求的值．

（3）当M在AD上运动时，探究四边形BDNG的形状，并证明之．

Answer

（1）详见解析；（2）；（3）四边形BDNG是平行四边形，证明详见解析.

【解析】

（1）连接BM，推出BE＝BM，∠EBA＝∠MBA，根据SAS证△BMN≌△BEN，推出∠BMN＝∠BEN，证出∠BMN＝∠BGN即可；

（2）过G作GH⊥AB，垂足为H，证△BGH≌△ABE，推出BH＝AE＝AN，求出NG＝GH＝AB，代入求出即可；

（3）根据ADN≌△BAE，推出BG⊥BE，BG＝BE，得出BG∥DN，BG＝DN，根据平行四边形的判定判断即可．

（1）证明：连BM，

∵∠BAD＝90°，

∴BA⊥EM，

∵AE＝AM，

∴BE＝BM，∠EBA＝∠MBA，

在△BEN和△BMN中

，

∴△BMN≌△BEN，

∴∠BMN＝∠BEN，

∵BE＝BG＝BM，

∴∠BMN＝∠BGN，

∴∠BEN＝∠BGN．

（2）【解析】
由（1）得，∠GBE＝∠GNE＝90°，

∴△NME等腰直角三角形，

∴AE＝AN，

过G作GH⊥AB，垂足为H，

∴∠H＝∠BAE＝∠GBE＝90°，

∴∠HGB+∠HBG＝90°，∠HBG+∠ABE＝90°，

∴∠HGB＝∠EBA，

在△BGH和△ABE中

，

∴△BGH≌△ABE，

∴BH＝AE＝AN，

HN＝AB＝GH，NG＝GH＝AB，

∴．

（3）【解析】
四边形BDNG是平行四边形，

理由是：∵∠DAN＝∠BAE＝90°，AN＝AE，AB＝AD，

∴△ADN≌△BAE，

∴DN⊥BE，DN＝BE＝BG，

又∵BG⊥BE，BG＝BE，

∴BG∥DN，BG＝DN

∴四边形BDNG为平行四边形．