Question

已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤90秒）．

（1）用含t的代数式表示∠MOA的度数．

（2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值．

（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）∠MOA=2t，（2）t=40秒时，∠AOB第二次达到60°；（3）当t的值分别为18、22.5、36、60、67.5秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线．

【解析】

试题（1）∠AOM的度数等于OA旋转速度乘以旋转时间；

（2）当∠AOB第二次达到60°时，射线OB在OA的左侧，根据∠AOM+∠BON﹣∠MON=60°列方程求解可得；

（3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有三种情况：

①OB两次平分∠AOM时，根据∠AOM=∠BOM，列方程求解，

②OB两次平分∠MON时，根据∠BOM=∠MON，列方程求解，

③OB平分∠AON时，根据∠BON=∠AON，列方程求解．

【解析】
（1）∠MOA=2t，

（2）如图，

根据题意知：∠AOM=2t，∠BON=4t，

当∠AOB第二次达到60°时，∠AOM+∠BON﹣∠MON=60°，

即2t+4t﹣180=60，解得：t=40，

故t=40秒时，∠AOB第二次达到60°；

（3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况：

①OB平分∠AOM时，∵∠AOM=∠BOM，

∴t=180﹣4t，或t=4t﹣180，

解得：t=36或t=60；

②OB平分∠MON时，∵∠BOM=∠MON，即∠BOM=90°，

∴4t=90，或4t﹣180=90，

解得：t=22.5，或t=67.5；

③OB平分∠AON时，∵∠BON=∠AON，

∴4t=（180﹣2t），或180﹣（4t﹣180）=（180﹣2t），

解得：t=18或t=90（不符合题意，舍去）；

综上，当t的值分别为18、22.5、36、60、67.5秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线．