Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx（k≠0）沿着y轴向上平移3个单位长度后，与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，抛物线y=x²+bx+c过点B、C且与x轴的另一个交点为A．

（1）求直线BC及该抛物线的表达式；

（2）设该抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；

（3）如果点F在y轴上，且∠CDF=45°，求点F的坐标．

Answer

（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）S△DBC=3；（3）F（0，﹣）．

【解析】试题

（1）由题意可设平移后的直线的解析式为y=kx+3，代入点B的坐标可求得k的值，从而可得直线BC的解析式y=-x+3，由此可解得点C的坐标，将B、C的坐标代入抛物线的解析式列方程组可求得b、c的值，即可得到抛物线的解析式；

（2）如图1所示：过点C作CE∥x轴，过点B作EF∥y轴，过点D作DF∥x轴，由（1）中所得抛物线的解析式求出其顶点D的坐标即可由S△DBC=S四边形CEFG﹣S△CDG﹣S△BFD﹣S△BCE求出其面积了；

（3）如图2所示：过点F作FG⊥CD，垂足为G．由（1）（2）易得CD=，tan∠OCD=tan∠GCF=，则CG=2FG，由∠GCF=45°，∠FGD=90°可得△FGD为等腰直角三角形，由此可得FG=GD，由此可得CD=3FG，则FG=，CG=，从而在Rt△CFG中，可得CF=，则OF=CF﹣OC=，就可得到点F的坐标为（0，﹣）．

试题解析：

（1）将直线y=kx（k≠0）沿着y轴向上平移3个单位长度，所得直线的解析式为y=kx+3，

将点B（3，0）代入得：3k+3=0，解得k=﹣1，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．

令x=0得：y=3，

∴C（0，3）．

将B（3，0），C（0，3）代入抛物线的解析式得： ，解得：b=﹣4，c=3，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．

（2）如图1所示：过点C作CE∥x轴，过点B作EF∥y轴，过点D作DF∥x轴．

y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1．

∴D（2，﹣1）．

∴S△DBC=S四边形CEFG﹣S△CDG﹣S△BFD﹣S△BCE=12﹣×2×4﹣×1×1﹣×3×3=3．

（3）如图2所示：过点F作FG⊥CD，垂足为G，由（1）（2）易得CD=，

∵C（0，3），D（2，﹣1），

∴CD=，

∵tan∠OCD=tan∠GCF=，

∴CG=2FG．

又∵∠GCF=45°，∠FGD=90°，

∴△FGD为等腰直角三角形，

∴FG=GD．

∴CD=3FG，

∴FG=．

∴CG=2FG=．

∴在Rt△CFG中，依据勾股定理可知：CF=．

∴OF=CF﹣OC=．

∴F（0，﹣）．