Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=4，OC=3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，对称轴交AC于点D，动点P在抛物线对称轴上，动点Q在抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当PO+PC的值最小时，求点P的坐标；

（3）是否存在以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=x2+3x；（2）当PO+PC的值最小时，点P的坐标为（2，）；（3）存在，具体见解析.

【解析】

试题(1)由条件可求得抛物线的顶点坐标及A点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

(2) 连接PA，D与P重合时有最不值，求出点D的坐标即可；

(3)存在，分别以PA，PC、PC，PQ、PA，PQ为一组邻边时，写出坐标即可；

试题解析：

（1）在矩形OABC中，OA=4，OC=3，

∴A（4，0），C（0，3），

∵抛物线经过O、A两点，且顶点在BC边上，

∴抛物线顶点坐标为（2，3），

∴可设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+3，

把A点坐标代入可得0=a（4﹣2)2+3，解得a=，

∴抛物线解析式为y=(x﹣2)2+3，即y=x2+3x；

（2）连接PA，

∵点P在抛物线对称轴上，∴PA=PO，∴PO+PC= PA+PC．

当点P与点D重合时，PA+PC= AC；

当点P不与点D重合时，PA+PC> AC；

∴当点P与点D重合时，PO+PC的值最小，

设直线AC的解析式为y=kx+b，

根据题意，得解得

∴直线AC的解析式为，

当x=2时，，

∴当PO+PC的值最小时，点P的坐标为（2，）；

（3）存在．当以PA，PC为一组邻边时，P(2，0)，Q(2，3)；

当以PC，PQ为一组邻边时，P(2，－6)，Q(6，－9)；

当以PA，PQ为一组邻边时，P(2，－12)，Q(－2，－9).