Question

四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．

如图，求证：矩形是正方形；

若，，求的长度；

当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF=ED，根据正方形的判定定理证明即可.
（2）通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
（3）分两种情形考虑问题即可.

证明：作于，于，

∵，

∴，

∵，，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴矩形是正方形；

如图中，在中．，

∵，

∴，

∴点与重合，此时是等腰直角三角形，易知．