Question

如图，已知直线AB经过x轴上的点A(2，0)，且与抛物线相交于B、C两点，已知B点坐标为(1，1) .

(1)求直线和抛物线的解析式；

(2)如果D为抛物线上一点，使得△AOD与△OBC的面积相等，求D点坐标。

Answer

（1）y=x2；（2）D点坐标为（，3）或（﹣，3）．

【解析】

（1）将A、B两点坐标代入y=kx+b中，可求直线解析式，将B点坐标代入y=ax2中，可求抛物线解析式；
（2）联立直线与抛物线解析式，可求C点坐标，用S△OBC=S△OCA-S△OBA，可求△OAD的面积，又已知OA，可求D点的纵坐标．

（1）设直线AB所表示的函数解析式为y=kx+b，

∵它过点A（2，0）和点B（1，1），

∴

解得

∴直线AB所表示的函数解析式为y=﹣x+2，

设抛物线的解析式为y=ax2

∵抛物线y=ax2过点B（1，1），

∴a×12=1，

解得a=1，

∴抛物线所表示的函数解析式为y=x2；

（2）解方程组

得

∵B点坐标为（1，1）

∴C点坐标为（﹣2，4）

∴OA=2，

∴S△OBC=S△OAC﹣S△OAB=4﹣1=3，

设D点的纵坐标为yD，

则

∴yD=3y=3代入y=x2，

得x=±，

∴D点坐标为（，3）或（﹣，3）．