Question

如图，点的坐标为，过点作轴的平行线交轴于点，交双曲线于点，作交双曲线于点，连接、，已知．

求的值．

求的面积．

试判断与是否相似，并说明理由．

Answer

(1)9;(2)3;(3)见解析.

【解析】

（1）过𝑁作𝑁𝐵⊥𝑥轴，交𝑥轴于点𝐵，先求得点N的坐标，再将点N的坐标代入双曲线解析式即可求出k的值；（2）延长MP与x轴交于Q点，根据已知条件可得和的横坐标相等，代入反比例解析式求出点Q的纵坐标，即可得到MQ的长，进而求出MP的长，从而求得△APM的面积；（3）不相似，由题意可知△APM为直角三角形，再根据勾股定理的逆定理判定△AMN不是直角三角形，即可知两三角形不可能相似．

【解析】
过作轴，交轴于点，

∵轴，∴与纵坐标相等，
又，，

∴，
∵，
∴点坐标为，
把代入解析式中，得；

延长，延长线与轴交于点，
∵，轴，
∴轴，
∴和的横坐标相等，即的横坐标为，
把代入反比例解析式中得：，
则，又，
∴；

不相似，理由为：
∵为直角三角形，，，
根据勾股定理得：，
又为直角三角形，，，
根据勾股定理得：，
∵，即，
∴不是直角三角形，而为直角三角形，
则与不相似．