Question

如图，在△ABC 中，∠A=∠B=30°，E,F 在 AB 上，∠ECF=60°.

（1）画出△BCF 绕点 C 顺时针旋转 120°后的△ACK；

（2）在(1)中，若 AE²＋ EF²＝ BF²，求证 BF＝ CF.

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）旋转后CB与CA重合，作∠KCA=∠FCB，截取KC=FC即可；（2）连结KE，作KH⊥AC于H，先得到∠ACE+∠BCF=60°，再根据旋转的性质得BF=AK，∠KCA=∠FCB，CK=CF，∠KAC=∠B=30°，则∠KCE=∠FCE，可根据“SAS”判断△CKE≌△CFE，所以KE=EF，由于AE2+EF2=BF2，则AE2+KE2=AK2，根据勾股定理的逆定理得∠AEK=90°，且∠KEC=∠FEC=45°，可计算∠BCF=45°，设KH=a，在Rt△KHC中可得KC=a；在Rt△KHA中得AK=2a，所以AK：KC=2a：a=，则BF：CF=，由此即可得结论.

（1）如图，

（2）证明：连结KE，作KH⊥AC于H，如图，

∵∠A=∠B=30°，∠MCN=60°，

∴∠ACB=120°，

∴∠ACE+∠BCF=60°，

∵△BCF绕点C顺时针旋转120゜后的△ACK，

∴BF=AK，∠KCA=∠FCB，CK=CF，∠KAC=∠B=30°，

∴∠KCE=∠KCA+∠ACE=∠FCB+∠ACE=60°，

∴∠KCE=∠FCE，

在△CKE和△CFE中，

，

∴△CKE≌△CFE，

∴KE=EF，∠KEC=∠FEC，

∵AE2+EF2=BF2，

∴AE2+KE2=AK2，

∴△AEK为直角三角形，

∴∠AEK=90°，

∴∠KEC=∠FEC=45°，

∴∠BCF=180°-45°-60°-30°=45°，

∴∠KCA=45°，

设KH=a，在Rt△KHC中，KC=a；

在Rt△KHA中，∠KAC =30°，

∴AK=2a，

∴AK：KC=2a：a=，

∴BF：CF=，

即BF=CF.