Question

如图，将直角的顶点放在正方形的对角线上，使角的一边交于点，另一边交或其延长线于点，求证：；

如图，将直角顶点放在矩形的对角线交点，、分别交与于点、，且平分．若，，求、的长．

Answer

(1)见解析;(2),.

【解析】

（1）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、P，然后利用ASA证得Rt△FEP≌Rt△GEH，则问题得证；

（2）过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N，过点C作CP⊥EG交EG的延长线于点P，过点C作CQ⊥EF垂足为Q，可得四边形EPCQ是矩形，四边形EMCN是矩形，可得EC平分∠FEG，可得矩形EPCQ是正方形，然后易证△PCG≌△QCF（AAS），进而可得：CG=CF，由EM∥AB，EN∥AD知△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，从而可得EF：EG=BC：AB=2，进而可得：EF=2EG，然后易证EM和EN分别是△ABC和△BCD的中位线，进而可得：EM=1，EN=2，MC=2，CN=1，然后易证△EMG∽△ENF，进而可得MG：NF=EM：EN=1：2，即NF=2MG，然后设MG=x，根据CG=CF，列出方程即可解出x的值，即MG的值，然后在Rt△EMG中，由勾股定理即可求出EG的值，进而可得EF的值．

【解析】
如图，过点作于，过点作于，

∵四边形为正方形，
∴平分，
又∵，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；如图，过点作于，过点作于，垂足分别为、，
过点作交的延长线于点，过点作垂足为，

则四边形是矩形，四边形是矩形，
∵平分，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，．
∴，，
∴、，
∴，
即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点放在矩形的对角线交点，
∴和分别是和的中位线，
∴，，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
设，则，，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∵，
∴．