Question

如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x²﹣7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．

（1）求AB与BC的长；

（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为时运动时间t的值；

（3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

(1) AB＝3，BC＝4;(2) t＝4;(3) t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形.

【解析】试题（1）解一元二次方程即可求得边长；

（2）结合图形，利用勾股定理求解即可；

（3）根据题意，分为：PC＝PD，PD＝PC，PD＝CD，三种情况分别可求解.

试题解析：(1)∵x2－7x＋12＝(x－3)(x－4)＝0

∴＝3或＝4 .

则AB＝3，BC＝4

(2)由题意得

∴， (舍去)

则t＝4时，AP＝.

(3)存在点P，使△CDP是等腰三角形.

①当PC＝PD＝3时， t＝ ＝10(秒).

②当PD＝PC(即P为对角线AC中点)时，AB＝3，BC＝4.

∴AC＝ ＝5，CP1＝ AC＝2.5

∴t＝ ＝9.5(秒)

③当PD＝CD＝3时，作DQ⊥AC于Q. ，

∴PC＝2PQ＝

∴ (秒)

可知当t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形.