Question

如图，抛物线y=﹣x²+bx+c与x轴交于（2，0）、（1，0），与y轴交于C，直线l₁经过点C且平行于x轴，与抛物线的另一个交点为D，将直线l₁向下平移t个单位得到直线l₂，l₂与抛物线交于A、B两点．

 

（1）求抛物线解析式及点C的坐标；

（2）当t=2时，探究△ABC的形状，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，点M（m，0）在x轴上自由运动，过M作MN⊥x轴，交直线BC于P，交抛物线于N，若三个点M、N、P中恰有一个点是其他两个点连线段的中点（三点重合除外），则称M、N、P三点为“共谐点”，请直接写出使得M、P、N三点为“共谐点”的m的值．

Answer

（1）点C的坐标为（0，﹣1）；（2）△ABC为直角三角形，理由见解析；（3）使得M、P、N三点为“共谐点”的m的值为或或或．

【解析】

（1）由点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标；

（2）由t和点C的坐标可得出直线l2为y＝−3，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标，利用两点间的距离公式可求出AB、AC、BC的值，由AC2＋BC2＝AB2可得出△ABC为直角三角形；

（3）由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，由点M的坐标可得出点N、P的坐标，分点M为中点、点N为中点及点P为中点三种情况找出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．

（1）将（2，0）、（1，0）代入y=﹣x2+bx+c，得：

，解得：，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣1．

当x=0时，y=﹣x2+x﹣1=﹣1，

∴点C的坐标为（0，﹣1）．

（2）△ABC为直角三角形，理由如下：

∵t=2，直线l1：y=﹣1，

∴直线l2：y=﹣3．

当y=﹣3时，﹣x2+x﹣1=﹣3，

解得：x1=﹣1，x2=4，

∴点A的坐标为（﹣1，﹣3），点B的坐标为（4，﹣3）．

∵点C的坐标为（0，﹣1），

∴AC=，BC=，AB=5．

∵AC2+BC2=25=AB2，

∴∠ACB=90°，

∴△ABC为直角三角形．

（3）设直线BC的解析式为y=kx+d（k≠0），

将B（4，﹣3）、C（0，﹣1）代入y=kx+d，得：

，解得：，

∴直线BC的解析式为y=﹣x﹣1．

∵点M的坐标为（m，0），

∴点N的坐标为（m，﹣m2+m﹣1），点P的坐标为（m，﹣m﹣1）．

①当点M为中点时，有﹣m2+m﹣1﹣0=0﹣（﹣m﹣1），

整理得：m2﹣2m+4=0，

∵△=（﹣2）2﹣4×1×4=﹣12＜0，

∴该情况不存在；

②当点N为中点时，有0﹣（﹣m2+m﹣1）=﹣m2+m﹣1﹣（﹣m﹣1），

整理得：2m2﹣7m+2=0，

解得：m1=，m2=；

③当点P为中点时，有0﹣（﹣m﹣1）=﹣m﹣1﹣（﹣m2+m﹣1），

整理得：m2﹣5m﹣2=0，

解得：m3=，m4=．

综上所述：使得M、P、N三点为“共谐点”的m的值为或或或．