Question

（1）如图1，等边三角形ABC的边长为4，两顶点B、C分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上运动，显然，当OA⊥BC于点D时，顶点A到原点O的距离最大，试求出此时线段OA的长．

（2）如图2，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，两顶点B、C分别在x轴的正半制和y轴的正半轴上运动，求出顶点A到原点O的最大距离．

（3）如图3，正六边形ABCDEF的边长为4，顶点B、C分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，直接写出顶点E到原点O的距离的最大值和最小值．

   

Answer

（1）OA=2+2；（2）2+；（3）2+，4.

【解析】

（1）解直角三角形求出AD、OD即可；

（2）如图2中，取BC的中点K，连接OK，AK，OA．因为OA≤AK＋OK，推出O、K、A共线时，OA的值最大；

（3）如图3中，取BC的中点K，连接OK、EK、OE．因为OE≤OK＋EK，推出O、K、E共线时，OE的值最大，当点C与O重合时，OE的值最小.

（1）如图1中，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC=4，∠ACD=60°，

∵AD⊥BC，

∴BD=CD，AD=AC•sin60°=2，

∴OD=BC=2，

∴OA=2+2．

（2）如图2中，取BC的中点K，连接OK，AK，OA．

在Rt△BOC中，OK=BC=2，

在Rt△ACK中，AK==，

∵OA≤AK+OK，

∴O、K、A共线时，OA的值最大，最大值为2+．

（3）如图3中，取BC的中点K，连接OK、EK、OE．

则OK=BC=2，EC=4，∠ECK=90°，

在Rt△ECK中，EK==2，

∵OE≤OK+EK，

∴O、K、E共线时，OE的值最大，最大值为2+2．

当点C与O重合时，OE的值最小，最小值为4．