Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+与x轴、y轴分别交于点B、A，与直线y=相交于点C．动点P从O出发在x轴上以每秒5个单位长度的速度向B匀速运动，点Q从C出发在OC上以每秒4个单位长度的速度，向O匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2）．

（1）直接写出点C坐标及OC、BC长；

（2）连接PQ，若△OPQ与△OBC相似，求t的值；

（3）连接CP、BQ，若CP⊥BQ，直接写出点P坐标．

Answer

（1）C（，），8，10；（2）t的值为或1s时，△OPQ与△OBC相似；（3）t=s时，PC⊥BQ．

【解析】

（1）利用待定系数法，方程组、两点间距离公式即可解决问题；

（2）分两种情形①当OPOC＝OQOB时，△OPQ∽△OCB，②当OPOB＝OQOC时，△OPQ∽△OBC，构建方程即可解决问题；

（3）如图作PH⊥OC于H．首先证明∠OCB＝90°，推出∠PCH＝∠CBQ时，PC⊥BQ．由PH∥BC，可得OPOB＝PHBC＝OHOC，可得5t10＝PH6＝OH8，推出PH＝3t，OH＝4t，根据tan∠PCH＝tan∠CBQ，构建方程即可解决问题.

（1）对于直线y=﹣x+，令x=0，得到y=，

∴A（0，），

令y=0，则x=10，

∴B（10，0），

由，解得，

∴C（，）．

∴OC==8，

BC==10．

（2）①当时，△OPQ∽△OCB，

∴，

∴t=．

②当时，△OPQ∽△OBC，

∴，

∴t=1，

综上所述，t的值为或1s时，△OPQ与△OBC相似．

（3）如图作PH⊥OC于H．

∵OC=8，BC=6，OB=10，

∴OC2+BC2=OB2，

∴∠OCB=90°，

∴当∠PCH=∠CBQ时，PC⊥BQ．

∵∠PHO=∠BCO=90°，

∴PH∥BC，

∴，

∴，

∴PH=3t，OH=4t，

∴tan∠PCH=tan∠CBQ，

∴，

∴t=或0（舍弃），

∴t=s时，PC⊥BQ．