Question

如图AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点E，∠ADC=60°．

（1）求证：△ADE是等腰三角形；

（2）若BE=2，求图中阴影部分面积（结果保留π）．

Answer

（1）证明见解析；（2）2﹣π

【解析】

（1）连接OD，想办法证明∠A＝∠E＝30°即可解决问题；

（2）只要证明BD＝BE，△OBD是等边三角形即可解决问题.

（1）连接OD．

∵CD是切线，

∴OD⊥CD，

∴∠ODC=90°，

∵∠ADC=60°，

∴∠ODA=30°，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ODA=30°，

∴∠EOD=∠A+∠ODA=60°，

∴∠E=90°﹣60°=30°，

∴∠A=∠E=30°，

∴DA=DE，

∴△ADE是等腰三角形．

（2）连接BD，

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠ABD=60°，

∵∠ABD=∠E+∠BDE，

∴∠BDE=∠E=30°，

∴BD=BE=2，

∵OD=OB，∠DOB=60°，

∴△ODB是等边三角形，

∴OD=OB=BD=2，DE=2，

∴S阴=S△DEO﹣S扇形ODB=×2×2﹣=2﹣π．