Question

如图，△ABC中，D为BC边上的一点，若∠B=36°，AB=AC=BD=2．

（1）求CD的长；

（2）利用此图求sin18°的值．

Answer

（1）CD=﹣1；（2）.

【解析】

（1）求出△CAD∽△CBA，得出比例式，代入求出即可；

（2）求出△EAD是直角三角形，求出AD的长度，即可求出答案．

（1）∵AB=AC，∠B=36°，

∴∠C=∠B=36°，

∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=108°，

∵AB=BD，∠B=36°，

∴∠BAD=∠BDA=（180°﹣∠B）=72°，

∴∠CAD=∠BAC﹣∠BAD=108°﹣72°=36°，

即∠DAC=∠B，

∵∠C=∠C，

∴△CAD∽△CBA，

∴=，

∵AB=AC=BD=2，

∴=，

解得：CD=﹣1或-﹣1（负数舍去）；

（2）延长CB到E，使BE=AB=2，连接AE，

则∠E=∠BAE，

∵∠ABC=36°=∠E+∠BAE，

∴∠E=∠BAE=18°，

∵∠BAD=72°，

∴∠EAD=72°+18°=90°，

∵∠C=∠CAD=36°，

∴AD=CD=﹣1，

在Rt△EAD中，sinE===，

即sin18°=．