Question

如图，菱形中，对角线，相交于点，且，，动点，分别从点，同时出发，运动速度均为，点沿运动，到点停止，点沿运动，到点停止后继续运动，到点停止，连接，，．设的面积为（这里规定：线段是面积的几何图形），点的运动时间为．

如图，菱形中，对角线，相交于点，且，，动点，分别从点，同时出发，运动速度均为，点沿运动，到点停止，点沿运动，到点停止后继续运动，到点停止，连接，，．设的面积为（这里规定：线段是面积的几何图形），点的运动时间为．

填空：________，与之间的距离为________；

当时，求与之间的函数解析式；

直接写出在整个运动过程中，使与菱形一边平行的所有的值．

Answer

（1）5；

【解析】

（1）根据勾股定理即可求得AB，根据面积公式求得AB与CD之间的距离．

（2）当4≤x≤10时，运动过程分为三个阶段，需要分类讨论，避免漏【解析】

①当4≤x≤5时，如答图1-1所示，此时点Q与点O重合，点P在线段BC上；

②当5＜x≤9时，如答图1-2所示，此时点Q在线段OB上，点P在线段CD上；

③当9＜x≤10时，如答图1-3所示，此时点Q与点B重合，点P在线段CD上．

（3）有两种情形，需要分类讨论，分别计算：

①若PQ∥CD，如答图2-1所示；

②若PQ∥BC，如答图2-2所示．

【解析】
（1）∵菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，

∴AC⊥BD，

∴AB===5，

设AB与CD间的距离为h，

∴△ABC的面积S=AB•h，

又∵△ABC的面积S=S菱形ABCD=×AC•BD=×6×8=12，

∴AB•h=12，

∴h==．

（2）设∠CBD=∠CDB=θ，则易得：sinθ= ，cosθ=．

①当4≤x≤5时，如答图1-1所示，此时点Q与点O重合，点P在线段BC上．

∵PB=x，

∴PC=BC-PB=5-x．

过点P作PH⊥AC于点H，则PH=PC•cosθ=（5-x）．

∴y=S△APQ=QA•PH=×3×（5-x）=-x+6；

②当5＜x≤9时，如答图1-2所示，此时点Q在线段OB上，点P在线段CD上．

PC=x-5，PD=CD-PC=5-（x-5）=10-x．

过点P作PH⊥BD于点H，则PH=PD•sinθ=（10-x）．

∴y=S△APQ=S菱形ABCD-S△ABQ-S四边形BCPQ-S△APD

=S菱形ABCD-S△ABQ-（S△BCD-S△PQD）-S△APD

= AC•BD-BQ•OA-（BD•OC-QD•PH）-PD×h

=×6×8-（9-x）×3-[×8×3-（x-1）•（10-x）]- （10-x）×

=-x2+x-；

③当9＜x≤10时，如答图1-3所示，此时点Q与点B重合，点P在线段CD上．

y=S△APQ=AB×h=×5×=12．

综上所述，当4≤x≤10时，y与x之间的函数解析式为：

y=．

（3）有两种情况：

①若PQ∥CD，如答图2-1所示．

此时BP=QD=x，则BQ=8-x．

∵PQ∥CD，

∴＝，

即＝，

∴x=；

②若PQ∥BC，如答图2-2所示．

此时PD=10-x，QD=x-1．

∵PQ∥BC，

∴＝，

即＝，

∴x=．

综上所述，满足条件的x的值为或．