Question

观察下表：

序号	1	2	3	…
图形	x　　　　x
y
x　　　　x	x　　　x　　　x
y　　　y
x　　　x　　　x
y　　　y
x　　　x　　　x	x　　x　　x　　x
y　　y　　y
x　　x　　x　　x
y　　y　　y
x　　x　　x　　x
y　　y　　y
x　　x　　x　　x	…

我们把某格中字母的和所得到的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为4x＋y.回答下列问题：

(1)第2格的“特征多项式”为____，第n格的“特征多项式”为____；(n为正整数)

(2)若第1格的“特征多项式”的值为－8，第2格的“特征多项式”的值为－11.

①求x，y的值；

②在此条件下，第n格的“特征多项式”是否有最小值？若有，求最小值和相应的n值；若没有，请说明理由．

Answer

(1) 9x＋4y; (n＋1)²x＋n²y;(2) ①x=-3,y=4; ②见解析.

【解析】

(1)利用已知表格中x，y个数变化规律得出第2格的“特征多项式”以及第n格的“特征多项式”；

(2)①利用(1)中所求得出关于x，y的等式组成方程组求出答案；

②利用二次函数最值求法得出答案.

(1) 9x＋4y; (n＋1)²x＋n²y.

(2)①∵第1格的“特征多项式”的值为－8，第2格的“特征多项式”的值为－11，

∴根据题意，可得解得②有最小值，将x＝－3，y＝4代入(n＋1)2x＋n2y＝－3(n＋1)2＋4n2＝n2－6n－3＝(n－3)2－12，当n＝3时，多项式有最小值为－12.