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如图,正方形ABCD的边长为6,E,F分别是AB,BC边上的点,且,将绕点D逆时...

如图,正方形ABCD的边长为6EF分别是ABBC边上的点,且,将绕点D逆时针旋转,得到

求证:

时,求EF的长.

 

(1)证明见解析;(2)FC=3. 【解析】 试题(1)由旋转可得DE=DM,∠EDM为直角,可得出∠EDF+∠MDF=90°,由∠EDF=45°,得到∠MDF为45°,可得出∠EDF=∠MDF,再由DF=DF,利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等,由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF; (2)由第一问的全等得到AE=CM=2,正方形的边长为6,用AB-AE求出EB的长,再由BC+CM求出BM的长,设EF=MF=x,可得出BF=BM-FM=BM-EF=8-x,在直角三角形BEF中,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即为EF的长. (1)证明:∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM, ∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°, ∴F、C、M三点共线, ∴DE=DM,∠EDM=90°, ∴∠EDF+∠FDM=90°, ∵∠EDF=45°, ∴∠FDM=∠EDF=45°, 在△DEF和△DMF中, , ∴△DEF≌△DMF(SAS), ∴EF=MF; (2)【解析】 设EF=MF=x, ∵AE=CM=2,且BC=6, ∴BM=BC+CM=6+2=8, ∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=8﹣x, ∵EB=AB﹣AE=6﹣2=4, 在Rt△EBF中,由勾股定理得EB2+BF2=EF2, 即42+(8﹣x)2=x2, 解得:x=5, 则EF=5.
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