Question

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tanA＝.点D，E分别是边BC，AC上的点，且∠EDC＝∠A.将△ABC沿DE所在直线对折，若点C恰好落在边AB上，则DE的长为___．

Answer

【解析】

把△ABC沿DE对折，点C恰好落在AB的F点处，CF与DE相交于O点，根据折叠的性质得到DE⊥CF，OC=OF，再根据等角的余角相等得∠1=∠EDC，而∠EDC=∠A，则∠1=∠A，所以FC=FA，同理可得FC=FB，于是有CF=AB，OC=AB，然后根据正切的定义和勾股定理得到BC=4，AB=5，所以OC=，再分别在Rt△OEC和Rt△ODC中，利用正切的定义计算出OE=，OD=，再计算OE+OD即可．

把△ABC沿DE对折，点C恰好落在AB的F点处，CF与DE相交于O点，如图，

∴DE⊥CF，OC=OF，

∵∠EDC+∠OCD=90°，∠1+∠OCD=90°，

∴∠1=∠EDC，

而∠EDC=∠A，

∴∠1=∠A，

∴FC=FA，

同理可得FC=FB，

∴CF=AB，

∴OC=AB，

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，

∴tanA= ，

∴BC=4，

∴AB==5，

∴OC=，

在Rt△OEC中，tan∠1=tan∠A=，

∴OE=，

在Rt△ODC中，tan∠ODC=tan∠A=，

∴OD=，

∴DE=OD+OE=+=．

故答案为．