Question

（1）操作与探究：如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕的一端G点在边BC上，BG=10．

①第一次折叠：当折痕的另一端点F在AB边上时，如图1，求折痕GF的长；

②第二次折叠：当折痕的另一端点F在AD边上时，如图2，证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长．

（2）拓展延伸：通过操作探究发现在矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=13．如图3所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ．当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离是　   　．

Answer

（1）①GF=5；②4；（2）4.

【解析】

（1）①首先利用翻折变换的性质以及勾股定理求出AE的长，进而利用勾股定理求出AF和EF的长，根据勾股定理即可得出结论；
②首先证明四边形BGEF是平行四边形，再利用BG=EG，得出四边形BGEF是菱形，再利用菱形性质求出FG的长；
（2）分别利用当点P与点B重合时，以及当点D与点Q重合时，求出A′B的极值进而得出答案．

（1）①【解析】
如图①过G作GH⊥AD，

在Rt△GHE中，GE=BG=10，GH=8，
所以，EH==6，AE=10-6=4，
设AF=x，则EF=BF=8-x，
则AF2+AE2=EF2，
∴x2+42=（8-x）2，
解得：x=3，
∴AF=3，BF=EF=5，
在Rt△BFG中，根据勾股定理得FG=.

②证明：如图②，过F作FK⊥BG于K，

∵ABCD是矩形，
∴AD∥BC，BH∥EG，
∴四边形BGEF是平行四边形；
由对称性知，BG=EG，
∴四边形BGEF是菱形．

BG=BF=10,AB=8,AF=6,

∴KG=4,FG=；

（2）如图1，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得BA′=AB=5，
如图2，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得

A′D=AD=13，
在Rt△A′CD中，A′D2=A′C2+CD2，
即132=（13-A′B）2+52，
解得：A′B=1，
所以点A'在BC上可移动的最大距离为5-1=4．