Question

已知，为等边三角形，点为直线上一动点（点不与、重合）．以为边作菱形，使，连接．

如图，当点在边上时，

①求证：；②请直接判断结论是否成立；

如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，结论是否成立？请写出、、之间存在的数量关系，并写出证明过程；

如图，当点在边的延长线上时，且点、分别在直线的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出、、之间存在的等量关系．

Answer

①证明见解析，②结论：成立；（2）结论不成立．、、之间的等量关系是．

补全图形如图见解析，、、之间的等量关系是：（或以及这两个等式的正确变式）．

【解析】

（1）此题只需由AB=AC，AD=AF，∠BAD=∠CAF，按照SAS判断两三角形全等得出∠ADB=∠AFC；

（2）此题应先判断得出正确的等量关系，然后再根据△ABD≌△ACF即可证明；

（3）此题只需补全图形后由图形即可得出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．

解：①证明：∵为等边三角形，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵四边形是菱形，∴，

在和中

，，，

∴，

∴，

②结论：成立．

结论不成立．

、、之间的等量关系是．

证明：∵为等边三角形，

∴，

，

∵，

∴，

∵四边形是菱形，

∴．

在和中

，，，

∴．

∴．

又∵，

∴．

补全图形如下图：

、、之间的等量关系是：

（或以及这两个等式的正确变式）．