Question

中，，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，，它们交于点，

①求证：．

②当，求的度数．

③当四边形是菱形时，求的长．

Answer

①证明见解析； ②；③．

【解析】

①先利用旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则根据“SAS”证明△AEB≌△AFC，于是得到BE=CF；

②利用∠FAC=120°，AF=AC可得到∠ACF=30°，再利用AB=AC，∠BAC=45°得到∠ACB=67.5°，然后计算∠BCF；

③利用四边形ACDE是菱形得到AC∥DE，DE=AE=AC=1，则∠ABE=∠BAC=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AB=，然后计算BE-DE即可．

解：①证明：∵绕点按顺时针方向旋转角得到，

∴，，，

∴，

，即，

在和中，

，

∴，

∴；

②【解析】
∵，

∴，

而，

∴，

∵，，

∴，

∴；

③【解析】
∵四边形是菱形，

∴，，

∴，

而，

∴为等腰直角三角形，

∴，

∴．