Question

如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在y轴上运动．

（1）求直线AB的函数解析式；

（2）动点M在y轴上运动，使MA+MB的值最小，求点M的坐标；

（3）在y轴的负半轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer

（1）y=-x+6；（2）M（0，）；（3）（0，-2）或（0，-6）.

【解析】

（1）设AB的函数解析式为：y=kx+b，把A、B两点的坐标代入解方程组即可.

（2）作点B关于y轴的对称点B′，则B′点的坐标为（-6，0），连接AB′则AB′为MA+MB的最小值，根据A、B′两点坐标可知直线AB′的解析式，即可求出M点坐标，（3）分别考虑∠MAB为直角时直线MA的解析式，∠ABM′为直角时直线BM′的解析式，求出M点坐标即可，

（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+b,则 解方程组得

直线AB的函数解析式为y= -x+6，

（2）如图作点B关于y轴的对称点B′，则点B′的坐标为（-6，0），连接AB′则AB′为MA+MB的最小值，设直线AB′的解析式为y=mx+n，则 ，

解方程组得

所以直线AB′的解析式为，

当x=0时，y=，

所以M点的坐标为（0，），

（3）有符合条件的点M，理由如下：

如图：因为△ABM是以AB为直角边的直角三角形，

当∠MAB=90°时，直线MA垂直直线AB，

∵直线AB的解析式为y=-x+6，

∴设MA的解析式为y=x+b，

∵点A（4，2），

∴2=4+b,

∴b=-2，

当∠ABM′=90°时，BM′垂直AB，

设BM′的解析式为y=x+n,

∵点B（6，0）

∴6+n=0

∴n=-6,

即有满足条件的点M为（0，-2）或（0，-6）.