Question

（题文）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线相交于A（1，），B（4，0）两点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；

（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S_△BCN、S_△PMN满足S_△BCN=2S_△PMN，求出的值，并求出此时点M的坐标．

Answer

（1）；（2）D（1，0）或（0，）或（0，）；（3），M（，）．

【解析】

（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）分D在x轴上和y轴上，当D在x轴上时，过A作AD⊥x轴，垂足D即为所求；当D点在y轴上时，设出D点坐标为（0，d），可分别表示出AD、BD，再利用勾股定理可得到关于d的方程，可求得d的值，从而可求得满足条件的D点坐标；

（3）过P作PF⊥CM于点F，利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函数，可用PF分别表示出MF和NF，从而可表示出MN，设BC=a，则可用a表示出CN，再利用S△BCN=2S△PMN，可用PF表示出a的值，从而可用PF表示出CN，可求得的值；借助a可表示出M点的坐标，代入抛物线解析式可求得a的值，从而可求出M点的坐标．

（1）∵A（1，），B（4，0）在抛物线的图象上，∴，解得，∴抛物线解析式为；

（2）存在三个点满足题意，理由如下：

①当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，∵A（1，），

∴D坐标为（1，0）；

②当点D在y轴上时，设D（0，d），

则，，

且，

∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形，∴

，即，

解得d=，∴D点坐标为（0，）或（0，）；

综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1，0）或（0，）或（0，）；

（3）如图2，过P作PF⊥CM于点F，

∵PM∥OA，∴Rt△ADO∽Rt△MFP，

∴=，∴MF=PF，

在Rt△ABD中，BD=3，AD=，

∴tan∠ABD=，∴∠ABD=60°，

设BC=a，则CN=a，

在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，

∴tan∠PNF=，

∴FN=PF，∴MN=MF+FN=PF，

∵S△BCN=2S△PMN，

∴，

∴a=PF，

∴NC=a=PF，

∴==，

∴MN=NC==a，

∴MC=MN+NC=（）a，

∴M点坐标为（4﹣a，（）a），

又M点在抛物线上，代入可得=（）a，解得a=或a=0（舍去），OC=4﹣a=，MC=，

∴点M的坐标为（，）．