Question

如图,抛物线y=-x²+x+与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.

(1)求点A,B,C的坐标;

(2)若该抛物线的顶点是点D,求四边形OCDB的面积;

(3)已知点P是该抛物线对称轴的一点,若以点P,O,D为顶点的三角形是等腰三角形,请直接写出点P的坐标.(不用说理)

Answer

(1)点A坐标为(-1,0)，点B坐标为(3,0)，点C坐标为；(2)；(3)点P坐标为(1,0)或(1,1+)或(1,1-)或(1,-1).

【解析】

(1)令y=0，可得方程-x2+x+=0，解方程求得x的值，即可得抛物线与x轴的交点坐标；把x=0代入函数的解析式求得y的值，即可得抛物线与y轴的交点坐标；（2）先求得顶点d的坐标，再由四边形OCDB的面积=△OCD的面积+△OBD的面积即可求得四边形OCDB的面积；（3）分OD=OP、OD=DP和OP=PD三种情况求点P的坐标即可.

(1)当y=0时,即-x2+x+=0,

解得x1=3,x2=-1,

又点A在点B的左侧,

所以点A坐标为(-1,0),点B坐标为(3,0).

当x=0时,y=,

点C坐标为.

(2)y=-x2+x+=-(x-1)2+1,

所以顶点D的坐标为(1,1),

所以四边形OCDB的面积=△OCD的面积+△OBD的面积=×1+×3×1=.

(3)分三种情况：

①当OD=OP时，如图1，

P与D关于x轴对称，

∵D（1，1），

∴P（1，-1），

②当OD=DP时，如图2，

∵D（1，1），

∴OE=DE=1，

∴OD=，

∴PD=OD=，

∴P1（1，1+），P2（1，1-），

③如图3，

∵D（1，1），

∴当P在x轴上时，OP=PD=1，

∴P（1，0）；

综上所述，点P的坐标为：（1，1）或（1，1+）或（1，1-）或（1，0）.