Question

已知二次函数y=ax²的图象与一次函数y=mx+4的图象相交于点A(-2,2)和B(n,8)两点.

(1)求二次函数y=ax²与一次函数y=mx+4的表达式;

(2)试判断△AOB的形状,并说明理由.

Answer

(1) y=x2，y=x+4；(2)△AOB是直角三角形.理由见解析

【解析】

（1）把A(-2，2)代入y=ax2求得a的值，即可得二次函数的解析式；把A(-2，2)代入y=mx+4求得m的值，即可得一次函数的解析式；（2）△AOB是直角三角形，求得点B的坐标，根据勾股定理求得OA2、OB2、AB2的值，再根据勾股定理的逆定理即可判定△AOB的形状.

(1)∵y=ax2的图象经过点(-2,2),即2=4a,a=,

∴二次函数的表达式为y=x2;

∵一次函数y=mx+4的图象经过点(-2,2),即2=-2m+4,m=1,

∴一次函数的表达式是y=x+4.

(2)△AOB是直角三角形.

理由:∵点B(n,8)在一次函数y=x+4的图象上,

∴8=n+4,n=4,

∴点B坐标为(4,8),

∴OA2=(-2-0)2+(2-0)2=8,OB2=(4-0)2+(8-0)2=80,AB2=(8-2)2+(4+2)2=72,

∴OA2+AB2=8+72=80=OB2,

∴△AOB为直角三角形,且∠OAB=90°.