Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y=kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5．

（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）直线BC的解析式为y=﹣x+3；抛物线解析式为y=x2﹣x+3；（2）存在．P1（，），P2（，﹣2），P3（，），P4（，）．

【解析】

试题（1）由C的坐标确定出OC的长，在直角三角形BOC中，利用勾股定理求出OB的长，确定出点B坐标，把B与C坐标代入直线解析式求出k与n的值，确定出直线BC解析式，把A与B坐标代入抛物线解析式求出a的值，确定出抛物线解析式即可；（2）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，如图所示，分三种情况考虑：当PC⊥CB时，△PBC为直角三角形；当P′B⊥BC时，△BCP′为直角三角形，当点P为直角顶点，即PC⊥PB时，△PBC为直角三角形；分别求出P的坐标即可．

试题解析：（1）由C的坐标确定出OC的长，∵C（0，3），即OC=3，∵BC=5，∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得：OB==4，即B（4，0），把B与C坐标代入y=kx+n中，得：，解得：k=﹣，n=3，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3；由A（1，0），B（4，0），设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣4）=ax2﹣5ax+4a，把C（0，3）代入得：a=，则抛物线解析式为y=x2﹣x+3；（2）存在．如图所示，分三种情况考虑：∵抛物线解析式为y=x2﹣x+3，∴其对称轴x=﹣=﹣=．当P1C⊥CB时，△P1BC为直角三角形，∵直线BC的斜率为﹣，两条直线垂直时斜率的积为-1，∴直线P1C斜率为，∵C（0，3），∴直线P1C解析式为y=x+3，与抛物线对称轴方程联立得，解得：，此时P（，）；当P2B⊥BC时，△BCP2为直角三角形，同理得到直线P2B的斜率为，∵B（4，0），∴直线P2B方程为y=x﹣，与抛物线对称轴方程联立得：，解得：，此时P2（，﹣2）．∴P1（，）或P2（，﹣2）时△BCP为直角三角形．当点P为直角顶点，即PC⊥PB时，设P（，y），∵B（4，0），C（0，3），∴BC=5，∴BC2=PC2+PB2，即25=（）2+（y﹣3）2+（﹣4）2+y2，解得y=，∴P3（，），P4（，）时△BCP为直角三角形．．综上所述，在抛物线的对称轴上存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，点P的坐标分别为P1（，），P2（，﹣2），P3（，），P4（，）．