Question

如图①，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M.CN⊥直线a于点N，连接PM，PN.

(1)延长MP交CN于点E(如图②)．

①求证：△BPM≌△CPE；

②求证：PM＝PN；

(2)若直线a绕点A旋转到图③的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM＝PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(3)若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM＝PN还成立吗？不必说明理由．

Answer

(1) ①见解析；②见解析;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】

（1）①根据平行线的性质证得∠MBP=∠ECP再根据BP=CP，∠BPM=∠CPE即可得到；

②由△BPM≌△CPE，得到PM=PE则PM=ME，而在Rt△MNE中，PN=ME，即可得到PM=PN；

（2）证明方法与②相同；

（3）四边形MBCN是矩形，只要证明三个角是直角即可；

（1）证明：①如图2：

∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，

∴∠BMA=∠CNM=90°，

∴BM∥CN，

∴∠MBP=∠ECP，

又∵P为BC边中点，

∴BP=CP，

又∵∠BPM=∠CPE，

∴△BPM≌△CPE，

②∵△BPM≌△CPE，

∴PM=PE.

∴PM=ME，

∴在Rt△MNE中，PN=ME，

∴PM=PN．

（2）【解析】
成立，如图3．

证明：延长MP与NC的延长线相交于点E，

∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，

∴∠BMN=∠CNM=90°.

∴∠BMN+∠CNM=180°，

∴BM∥CN.

∴∠MBP=∠ECP，

又∵P为BC中点，

∴BP=CP，

又∵∠BPM=∠CPE，

在△BPM和△CPE中，

，

∴△BPM≌△CPE，

∴PM=PE，

∴PM=ME，

则Rt△MNE中，PN=ME.

∴PM=PN．

（3）【解析】
如图4，四边形BMNC是矩形，

理由：∵MN∥BC，BM⊥AM，CN⊥MN，

∴∠AMB=∠ANC=90°，∠AMB+∠CBM=180°，

∴∠CBM=∠AMB=∠CNA=90°，

∴四边形BMNC是矩形．