Question

阅读下面材料：

在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：

尺规作图：过圆外一点作圆的切线．

已知：P为⊙O外一点．

求作：经过点P的⊙O的切线．

小敏的作法如下：如图，

（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C．

（2）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点．

（3）作直线PA，PB．

老师认为小敏的作法正确．

请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是　   　；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是　   　．请写出证明过程．

Answer

直径所对圆周角为直角，经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．证明详见解析.

【解析】

根据圆周角定理以及切线的判定方法即可得解.

接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是直径所对圆周角为直角；

由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

证明过程如下：

由作图可知OP为⊙C的直径，

∴∠OAP=∠OBP=90°，即OA⊥PA、OB⊥PB，

∵OA、OB是⊙O的半径，

∴OP是⊙O的切线．

故答案为：直径所对圆周角为直角，经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．