Question

如图，长方形ABCD中，P是AD上一动点，连接BP，过点A作BP的垂线，垂足为F，交BD于点E，交CD于点G．

（1）当AB=AD，且P是AD的中点时，求证：AG=BP；

（2）在（1）的条件下，求的值；

（3）类比探究：若AB=3AD，AD=2AP，的值为　　．（直接填答案）

Answer

（1）证明见解析（2）（3）

【解析】

（1）根据BP⊥AG，AB=AD，四边形ABCD是矩形，运用AAS判定△ABP≌△DAG，即可得出AG=BP；

（2）根据△ABP≌△DAG，得出AP=DG，再根据AP=AD，即可得到DG=AD=AB，再根据AB∥CD，判定△DGE∽△BAE，最后根据相似三角形的性质，得出==；

（3）设AP=a，则AD=2AP=2a，AB=3AD=6a，根据△ABP∽△DAG，即可求得=，得出DG=a，再根据△DGE∽△BAE，运用相似三角形的性质，得出===即可.

（1）如图，∵BP⊥AG，∠BAD=90°，

∴∠ABF+∠BAF=90°，∠BAF+∠DAG=90°，

∴∠ABF=∠DAG，

在△ABP和△DAG中，

，

∴△ABP≌△DAG（AAS），

∴AG=BP；

（2）∵△ABP≌△DAG，

∴AP=DG，

∵AP=AD，

∴DG=AD=AB，

∵AB∥CD，

∴△DGE∽△BAE，

∴==；

（3）设AP=a，则AD=2AP=2a，AB=3AD=6a，

∵BP⊥AG，∠BAD=90°，

∴∠ABF+∠BAF=90°，∠BAF+∠DAG=90°，

∴∠ABF=∠DAG，

又∵∠BAP=∠ADG，

∴△ABP∽△DAG，

∴=，即==3，

∴DG=a，

∵AB∥GD，

∴△DGE∽△BAE，

∴===．

故答案为：．