Question

如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为AD的中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿EP折叠得到△EPF，连接CE，CF，当△ECF为直角三角形时，AP的长为______.

Answer

1或．

【解析】

分∠CFE=90°和∠CEF=90°两种情况求AP得长即可.

①当∠CFE=90°时(如图所示)，△ECF是直角三角形，

由折叠可得，∠PFE=∠A=90°，AE=FE=DE，

∴∠CFP=180°，即点P，F，C在一条直线上，

在Rt△CDE和Rt△CFE中，

，

∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL），

∴CF=CD=4，

设AP=FP=x，则BP=4﹣x，CP=x+4，

在Rt△BCP中，BP2+BC2=PC2，即（4﹣x）2+62=（x+4）2，

解得x=，即AP=；

②当∠CEF=90°时（如图所示），△ECF是直角三角形，

过F作FH⊥AB于H，作FQ⊥AD于Q，则∠FQE=∠D=90°，

又∵∠FEQ+∠CED=90°=∠ECD+∠CED，

∴∠FEQ=∠ECD，

∴△FEQ∽△ECD，

∴，即，

解得FQ=，QE= ，

∴AQ=HF=，AH=，

设AP=FP=x，则HP=﹣x，

∵Rt△PFH中，HP2+HF2=PF2，即（﹣x）2+（）2=x2，

解得x=1，即AP=1．

综上所述，AP的长为1或．