Question

如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax²+bx+c上．

（1）求抛物线解析式；

（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；

（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1；（2）点P的坐标为（1，）或（2，1）；（3）存在，理由见解析．

【解析】

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入求得a的值即可；

（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D，先求得直线BC的解析式为y=﹣x+1，设点P（x，﹣x2+x+1），则D（x，﹣ x+1），然后可得到PD与x之间的关系式，接下来，依据△PBC的面积为1列方程求解即可；

（3）首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC=∠BAC=45°，设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°，设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，依据勾股定理可求得⊙M的半径，然后依据外心的性质可得到点M为直线y=﹣x与x=1的交点，从而可求得点M的坐标，然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标．

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入得﹣3a=1，解得：a=﹣，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1；

（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D，

设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得：k=﹣，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+1，

设点P（x，﹣ x2+x+1），则D（x，﹣ x+1），

∴PD=（﹣x2+x+1）﹣（﹣x+1）=﹣x2+x，

∴S△PBC=OB•DP=×3×（﹣x2+x）=﹣x2+x，

又∵S△PBC=1，

∴﹣x2+x=1，整理得：x2﹣3x+2=0，解得：x=1或x=2，

∴点P的坐标为（1，）或（2，1）；

（3）存在．

∵A（﹣1，0），C（0，1），

∴OC=OA=1，

∴∠BAC=45°，

∵∠BQC=∠BAC=45°，

∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点，

设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°，

设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2=BC2，即2x2=10，

解得：x=（负值已舍去），

∵AC的垂直平分线的为直线y=﹣x，AB的垂直平分线为直线x=1，

∴点M为直线y=﹣x与x=1的交点，即M（1，﹣1），

∴Q的坐标为（1，﹣1﹣）．