Question

已知△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB=3，△CDE中，∠CDE=90°，CD=DE=5，连接BE，取BE中点F，连接AF、DF．

（1）如图1，若C、B、E三点共线，H为BC中点．

①直接指出AF与DF的关系　   　；

②直接指出FH的长度　   　；

（2）将图（1）中的△CDE绕C点逆时针旋转a（如图2，0°＜α＜180°），试确定AF与DF的关系，并说明理由；

（3）在（2）中，若AF=，请直接指出点F所经历的路径长．

Answer

（1）①AF=DF，且AF⊥DF；②；（2）结论：AF=DF，且AF⊥DF（3）当旋转30°或150°时，AF=，点F经历的路径长为或

【解析】

(1)①AF=DF，且AF⊥DF，如图1，过F作MN∥CD，交DE于M，交CA的延长线于N，根据已知条件易证四边形FMCN为矩形，再证△FNA≌△FMD，即可得DF=AF，∠AFN=∠FDM，再由∠FDM+∠MFD=90°，可得∠MFD+∠AFN=90°，即∠DFA=90°，所以DF⊥AF； ②因H是BC的中点，可得BH=BC，由FH=BF+BH即可解答；(2) AF=DF，且AF⊥DF，延长AF至S使FS=AF，连接DS、SE，延长SE交AC于T，先证△ABF≌△SEF，再证△SED≌△ACD，即可证得结论;(3) 分旋转30°或150°两种情况求点F所经历的路径长.

（1）①AF=DF，且AF⊥DF，

理由是：如图1，过F作MN∥CD，交DE于M，交CA的延长线于N，

∵△ABC是等腰直角三角形，且AC=3，

∴BC=3，

同理EC=5，

∵C、B、E三点共线，

∴EB=5﹣3=2，

∵F是BE的中点，

∴EF=BE=，

∵∠E=45°，

∴EM=FM=1，

∴DM=5﹣1=4，

∵∠ECD+∠ACB=45°+45°=90°

∴∠EDC=∠ACD=∠MNC=90°，

∴四边形MDCN是矩形，

∴CN=DM=4，MN=DC=5，

∴FN=DM=4，FM=AN=1，

∵∠DMF=∠FNA=90°，

∴△FNA≌△DMF，

∴DF=AF，∠AFN=∠FDM，

∵∠FDM+∠MFD=90°，

∴∠MFD+∠AFN=90°，

∴∠DFA=90°，

∴DF⊥AF；

②∵H是BC的中点，

∴BH=BC=，

∴FH=BF+BH=+=；

故答案为：①AF=DF，且AF⊥DF；②；

（2）结论：AF=DF，且AF⊥DF，

理由如下：

延长AF至S使FS=AF，连接DS、SE，延长SE交AC于T，

∵∠AFB=∠EFS，BF=EF，

∴△ABF≌△SEF，

∴AB=SE=AC，∠FAB=∠FSE，

∴∠STC=∠BAC=90°，

∴∠EDC+∠STC=180°，

∴∠TED+∠TCD=180°，

∵∠TED+∠SED=180°，

∴∠SED=∠ACD,

∵ED=CD，

∴△SED≌△ACD，

∴AD=SD，∠ADC=∠SDE，

∴∠ADS=90°，

∴AF=DF，且AF⊥DF；

（3）∵F是BE的中点，H是BC的中点，

∴FH是△BEC的中位线，

∴FH=EC=，

∵在旋转过程中，CE是定值，则FH也是定值，

∴点F的运动路径是以H为中点，以FH为半径的圆，

如图4，过D作DM⊥AC，交AC的延长线于M，

由（2）知：△AFD是等腰直角三角形，

∵AF=，

∴AD=×=7，

设CM=x，DM=y，

则，

解得：x=，

∴CM=，

∵CD=5，

∴∠CDM=30°，

∴∠DCM=60°，

∵∠ACB+∠DCE+∠BCE+∠DCM=180°，

∴∠BCE=30°，即α=30°，

此时，点F所经历的路径长==．

如图5，过D作DM⊥AC，交AC的延长线于M，

同理得：∠DCM=60°，

∵∠ECD=45°，

∴∠ECM=60°﹣45°=15°，

∴α=∠BCE=180°﹣45°+15°=150°，

此时，点F所经历的路径长==．

综上所述，当旋转30°或150°时，AF=，点F经历的路径长为或．