Question

如图所示，已知矩形ABOC中，AC=4，双曲线y=与矩形两边AB、AC分别交于D、E，E为AC边中点．

（1）求点E的坐标；

（2）点P是线段OB上的一个动点，是否存在点P，使∠DPC=90°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）点E的坐标为（2，3）；（2）不存在点P，使∠DPC=90°

【解析】（1）根据矩形的性质求出点E的横坐标为2，代入反比例函数解析式计算，求出点E的坐标；

（2）设点P的坐标为（a，0），证明△COP∽△PBD，根据相似三角形的性质列出方程，根据一元二次方程根的判别式解答．

（1）矩形ABOC中，AC=4，E为AC边中点，

∴CE=2，即点E的横坐标为2，

∵点E在双曲线y=上，

∴y==3，

∴点E的坐标为（2，3）；

（2）不存在点P，使∠DPC=90°，

理由如下：设点P的坐标为（a，0），

则OP=a，PB=4﹣a，

由题意可知，点D的横坐标为4，

则纵坐标为：y==，即BD=，

∵∠COP=∠CPD=∠PBD=90°，

∴△COP∽△PBD，

∴=，即，

整理得，a2﹣4a+=0，

△=16﹣18＜0，

∴方程无实根，

∴不存在点P，使∠DPC=90°．