Question

已知△ABD与△GDF都是等腰直角三角形，BD与DF均为斜边（BD＜DF）．

（1）如图1，B，D，F在同一直线上，过F作MF⊥GF于点F，取MF=AB，连结AM交BF于点H，连结GA，GM．

①求证：AH=HM；

②请判断△GAM的形状，并给予证明；

③请用等式表示线段AM，BD，DF的数量关系，并说明理由．

（2）如图2，GD⊥BD，连结BF，取BF的中点H，连结AH并延长交DF于点M，请用等式直接写出线段AM，BD，DF的数量关系．

Answer

（1）①详见解析；②详见解析；（2）AM2=BD2+DF2﹣ DF•BD．

【解析】

（1）①易证∠ABD=∠HFM=45°，从而根据“AAS”可证△AHB≌△MHF，由全等三角形的对应边相等可得AH=HM；

②根据“SAS”可证△GAD≌△GMF，从而AG=GM，∠AGD=∠MGF，进而可证∠AGM=90°,所以△GAM是等腰直角三角形；

③根据勾股定理即可得出线段AM，BD，DF的数量关系；

（2）易证∠ADM=90°，根据“AAS”可证△ABH≌△HFM，从而FM=AB，然后根据AM2=AD2+DM2整理即可.

（1）①证明：如图1，∵MF⊥GF，

∴∠GFM=90°，

∵△ABD与△GDF都是等腰直角三角形，

∴∠DFG=∠ABD=45°，

∴∠HFM=90°﹣45°=45°，

∴∠ABD=∠HFM，

∵AB=MF，∠AHB=∠MHF，

∴△AHB≌△MHF，

∴AH=HM；

②如图1，△GAM是等腰直角三角形，理由是：

∵△ABD与△GDF都是等腰直角三角形，

∴AB=AD，DG=FG，

∠ADB=∠GDF=45°，

∴∠ADG=∠GFM=90°，

∵AB=FM，

∴AD=FM，

∴△GAD≌△GMF，

∴AG=GM，∠AGD=∠MGF，

∴∠ADG+∠DGM=∠MGF+∠DGM=90°，

∴△GAM是等腰直角三角形；

③如图1，AM2=BD2+DF2，理由是：

∵△AGM是等腰直角三角形，

∴AM2=2MG2，

Rt△GMF中，MG2=FG2+FM2=AB2+FG2，

∵△ABD与△GDF都是等腰直角三角形，

∴AB=，FG=，

∴AM2=2MG2=2（+）=BD2+DF2；

（2）如图2，∵GD⊥BD，∠ADB=45°，

∴∠ADG=45°，

∴∠ADM=45°+45°=90°，

∵∠HMF=∠ADM+∠DAM=90°+∠DAM=∠BAH，

∵H是BF的中点，

∴BH=HF，

∵∠AHB=∠MHF，

∴△ABH≌△HFM，

∴FM=AB，

在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM2=AD2+DM2，

=AD2+（DF﹣FM）2，

=AD2+DF2﹣2DF•FM+FM2，

=BD2+DF2﹣2DF，

=BD2+DF2﹣DF•BD．