Question

如图，抛物线y＝x²＋x＋3的顶点为P，与y轴交于点A，若向右平移4个单位，向下平移4个单位，则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为__________．

Answer

12

【解析】

根据题意求得A，P的坐标，再根据平移的性质得到四边形A PP′A′为平行四边形，以及A′，P的坐标，然后求得AD，PP′的长，再求出面积即可.

如图，连接AP，AP′，过点A作AD⊥PP′于D点，

由题意可得，四边形APP′A′为平行四边形，

将x=0代入函数得y=3，

∴点A的坐标为（0，3），

又∵抛物线y＝x2＋x＋3=(x2+4x+4)+2=(x+2)2+2，

∴顶点P的坐标为（﹣2，2），

∵将抛物线向右平移4个单位，向下平移4个单位，

∴点A′(4，﹣1)，点P′（2，﹣2），

∴PP′==4，A0=3，∠AOP＝45°，

∴△AOD为等腰直角三角形，

∴AD=OD，

在Rt△AOD中，AD2+OD2=9，即2AD2=9，

∴AD=，

则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为4×=12.

故答案为12.