Question

如图，在矩形纸片ABCD中，点P在边AB上，沿着PC折叠纸片使B点落在边AD上的E点处，过点E作EF∥AB交PC于F，连接BF．

（1）求证：四边形BFEP为菱形；

（2）若tan∠BCP=，AB=3cm，求AE的长．

Answer

（1）详见解析；（2）AE=1 cm．

【解析】

（1）由折叠的性质得出PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF=∠EFP，证出∠EPF=∠EFP，得出EP=EF，所以BP=BF=EF=EP，即可得出结论；（2）由折叠可知,∠BCP=∠ECP，根据已知可得tan∠ECP =tan∠BCP=，根据锐角三角函数的定义可得，再证明△APE∽△DEC，根据相似三角形的性质可得．再由AB=DC=3cm，即可求得AE=1 cm．

（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PC，

∴B点与E点关于PQ对称．

∴BP=PE，BF=FE，∠BPF=∠EPF．

又∵EF∥AB，

∴∠BPF=∠EFP．

∴∠EPF=∠EFP．

∴EP=EF．

∴BP=BF=FE=EP．

∴四边形BFEP为菱形．

（2）由折叠可知，∠BCP=∠ECP．

∴．

∴，

∵∠PEC=∠A=∠D=90°．

∴∠AEP+∠DEC=90°，∠AEP+∠APE=90°．

∴∠APE=∠DEC．

∴△APE∽△DEC．

∴．

∵AB=DC=3cm，

∴AE=1 cm．