Question

如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，且DE=AF=1，连接AE，BF交于点G，将△AED沿AE对折，得到△AEH，延长AH交CD于点P．

（1）求证：①△AED≌△BFA；②AE⊥BF；

（2）求S_{四边形DEGF}；

（3）求sin∠HPE的值．

Answer

（1）证明见解析（2） （3）

【解析】

（1）①先判断出，，进而得出；

②由①知，，得出，进而得出即可得出结论；

（2）先利用勾股定理求出，，再判断出，求出即可得出结论；

（4）先判断出，得出，设，得出，，由勾股定理求出的值即可得出结论.

（1）①∵四边形 ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠D=∠FAB=90°，

∵DE=AF=1，

∴△AED≌△BFA；

②由①知，△AED≌△BFA，

∴∠EAF=∠ABF，

∵∠FAB=90°，

∴∠ABF+∠AFB=90°，

∴∠EAF+∠AFB=90°，

∴∠AGF=90°，

∴AE⊥BF；

（2）在Rt△ADE中，DE=1，AD=AB=3，

∴AE=，S△ADE=AD×DE=，

由（1）知，∠D=∠AGF=90°，∠FAG=∠EAD，

∴△AFG∽△AED，

∵，

∴=（）2=.

∴S△AFG=S△AED=，

∴S四边形DEGF=S△ADE﹣S△AFG=；

（3）如图，过点H作HM∥AD交AB于M，交CD于N，

∴∠AMH=∠HNE=90°，

∵∠FAB=90°，

∴∠EHN+∠AHM=90°，

∵∠AHN+∠HAM=90°，

∴∠EHN=∠HAM，

∴△EHN∽△HAM，

∴，

由（1）知，EH=DE=1，AH=AD=MN=3，

设NH=x，

∴AM=3x，HM=3﹣x，

由勾股定理得，AH2=AM2+MH2，

∴9=（3x）2+（3﹣x）2。

∴x=或x=0（舍），

∴HM=3﹣=，

∵CD∥AB，

∴∠EPA=∠PAB，

∴sin∠HPE=sin∠PAB==．