Question

如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F

（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为　   　；

（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM=90°；

（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度数．

Answer

（1）∠PFD+∠AEM=90°（2）证明见解析（3）45°

【解析】(1)由AB∥CD可得∠PFD与∠AEM的等于∠P；(2)∠1＋∠PFD＝180°，由对顶角相等，分别将∠1，∠AEM转化为∠PHE与∠2；(3)由∠PEB＝15°得∠PHE和∠1，又AB∥CD，则∠1＝∠PFC，而∠PFC＝∠N＋∠DON.

(1)过P作平行线，由AB∥CD易得∠PFD与∠AEM的等于∠P，所以∠PFD与∠AEM的数量关系为 ∠PFD＋∠AEM＝90° ；

(2)证明：如图②所示：

∵AB∥CD，∴∠PFD＋∠1＝180°，

∵∠P＝90°，∴∠PHE＋∠2＝90°，

∵∠2＝∠AEM，∴∠1＝∠PHE＝90°﹣∠AEM，

∴∠PFD＋90°﹣∠AEM＝180°，

∴∠PFD﹣∠AEM＝90°；

(3)如图②所示：

∵∠P＝90°，∴∠PHE＝90°﹣∠PEB＝90°﹣15°＝75°，

∵AB∥CD，∴∠PFC＝∠PHE＝75°，

∵∠PFC＝∠N＋∠DON，

∴∠N＝75°﹣30°＝45°．