Question

如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=30°，AC=3，动点D从点A出发，在AB边上以每秒1个单位的速度向点B运动，连结CD，作点A关于直线CD的对称点E，设点D运动时间为t（s）．

（1）若△BDE是以BE为底的等腰三角形，求t的值；

（2）若△BDE为直角三角形，求t的值；

（3）当S_△BCE≤时，求所有满足条件的t的取值范围（所有数据请保留准确值，参考数据：tan15°=2﹣）．

Answer

(1);(2) t的值为秒或3秒；(3) t的取值范围是6﹣3≤t≤3．

【解析】

（1）如图1，先由勾股定理求得AB的长，根据点A、E关于直线CD的对称，得CD垂直平分AE，根据线段垂直平分线的性质得：AD=DE，所以AD=DE=BD，由AB=3，可得t的值；

（2）分两种情况：

①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，根据AB=3t=3，可得t的值；

②当∠EDB=90°时，如图3，根据△AGC≌△EGD，得AC=DE，由AC∥ED，得四边形CAED是平行四边形，所以AD=CE=3，即t=3；

（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，

①当△BCE在BC的下方时，

②当△BCE在BC的上方时，

分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论．

【解析】
（1）如图1，连接AE，

由题意得：AD=t，

∵∠CAB=90°，∠CBA=30°，

∴BC=2AC=6，

∴AB==3，

∵点A、E关于直线CD的对称，

∴CD垂直平分AE，

∴AD=DE，

∵△BDE是以BE为底的等腰三角形，

∴DE=BD，

∴AD=BD，

∴t=AD=；

（2）△BDE为直角三角形时，分两种情况：

①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，

∵CD垂直平分AE，

∴AD=DE=t，

∵∠B=30°，

∴BD=2DE=2t，

∴AB=3t=3，

∴t=；

②当∠EDB=90°时，如图3，

连接CE，

∵CD垂直平分AE，

∴CE=CA=3，

∵∠CAD=∠EDB=90°，

∴AC∥ED，

∴∠CAG=∠GED，

∵AG=EG，∠CGA=∠EGD，

∴△AGC≌△EGD，

∴AC=DE，

∵AC∥ED，

∴四边形CAED是平行四边形，

∴AD=CE=3，即t=3；

综上所述，△BDE为直角三角形时，t的值为秒或3秒；

（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，

①当△BCE在BC的下方时，过B作BH⊥CE，交CE的延长线于H，如图4，当AC=BH=3时，

此时S△BCE=AE•BH=×3×3=，

易得△ACG≌△HBG，

∴CG=BG，

∴∠ABC=∠BCG=30°，

∴∠ACE=60°﹣30°=30°，

∵AC=CE，AD=DE，DC=DC，

∴△ACD≌△ECD，

∴∠ACD=∠DCE=15°，

tan∠ACD=tan15°==2﹣，

∴t=6﹣3，

由图形可知：0＜t＜6﹣3时，△BCE的BH越来越小，则面积越来越小，

②当△BCE在BC的上方时，如图3，CE=ED=3，且CE⊥ED，

此时S△BCE=CE•DE=×3×3=，此时t=3，

综上所述，当S△BCE≤时，t的取值范围是6﹣3≤t≤3．