Question

如图，平面直角坐标系中，直线l：y=x+m交x轴于点A，二次函数y=ax²﹣3ax+c（a≠0，且a、c是常数）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，与直线l交于点D，已知CD与x轴平行，且S_△ACD：S_△ABD=3：5．

（1）求点A的坐标；

（2）求此二次函数的解析式；

（3）点P为直线l上一动点，将线段AC绕点P顺时针旋转α°（0°＜α°＜360°）得到线段A'C'（点A，A'是对应点，点C，C'是对应点）．请问：是否存在这样的点P，使得旋转后点A'和点C'分别落在直线l和抛物线y=ax²﹣3ax+c的图象上？若存在，请直接写出点A'的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1) A（﹣1，0）;(2) y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2;(3)见解析.

【解析】

（1）由题意可得C（0，c），且CD∥x轴，可得D（3，c），根据面积比可得AB=5．由对称性可得点A（-2m，0）到对称轴的距离2倍是5，可求m，即可求A点坐标．

（2）由直线l过D点可求D（3，2），由A，B关于对称轴对称可求B（4，0），则可用交点式求二次函数的解析式．

（3）由点A是直线l上一点，绕直线l上点P旋转，且落在直线l上，因此可得点A与点A'重合，或点A绕点P旋转180°得到A'．设C'（a，-a2+a+2）根据中点坐标公式可求A'点坐标．

【解析】
（1）

∵二次函数y=ax2﹣3ax+c（a≠0，且a、c是常数）的图象与x轴交于A、B两点

∴C（0，c，），对称轴是直线x==.

∵CD∥x轴.

∴C，D关于对称轴直线x=对称.

∴D（3，c）.

∵S△ACD：S△ABD=3：5．且△ACD和△ABD是等高的.

∴.

∴AB=5.

∵直线y=x+m与x轴交于A点，

∴A（﹣2m，0）.

∵点A，点B关于对称轴x=对称.

∴2×[﹣（﹣2m）]=5.

∴m=.

∴A（﹣1，0），且AB=5.

∴B（4，0）.

（2）设抛物线解析式y=a（x+1）（x﹣4）.

∵m=.

∴直线AD解析式y=x+.

∵D（3，c）在直线AD上.

∴c=+=2.

∴D（3，2）且在抛物线上.

∴2=a（3+1）（3﹣4）.

∴a=﹣.

∴抛物线解析式y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2.

（3）∵点A在直线l上，旋转后A'点落在直线l上，

∴点A与点A'重合，或者点A绕着点P旋转180°.

当点A与点A'重合时，A'（﹣1，0）.

当点A绕着点P旋转180°得到A'，点C绕着点P旋转180°得到C'

∴AP=A'P，CP=CP'.

如图2:

设C'（a，﹣a2+a+2）.

∵C（ 0，2），CP=CP'.

∴P（a，﹣a2+a+2）.

∵点P在直线l上，

∴﹣a2+a+2=a+.

即 a2﹣2a﹣6=0.

解得：a1=1+，a2=1﹣.

当a1=1+时，y=×（1+）+=.

∴P（，）.

∵AP=A'P.

∴A'（2+，）.

当a2=1﹣时，y=×（1﹣）+=.

∴P（，）.

∵AP=AP'.

∴A'（2﹣，）.

综上所述A'（2﹣，），（2+，），（﹣1，0）.