Question

已知矩形纸片ABCD中，AB=2，BC=3，操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．探究：

（1）如图1，若点B与点D重合，你认为△EDA₁和△FDC全等吗？如果全等给出证明，如果不全等，请说明理由；

（2）如图2，若点B₁与CD的中点重合，求△FCB₁和△B₁DG的周长之比．

Answer

（1）全等，证明见解析；（2）：1．

【解析】

可以用角边角定理证明全等.

（1）全等．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD

由题意知：∠A=∠A1，∠B=∠A1DF=90°，AB=A1D

∴∠A1=∠C=90°，∠CDF+∠EDF=90°，A1D=DC．

∴∠A1DE=∠CDF．

在△EDA1和△EDC中，∠A1=∠C，A1D=DC，∠A1DE=∠CDF

∴△EDA1≌△EDC．

（2）∵∠DGB1+∠DB1G=90°，∠DB1G+∠CB1F=90°，

∴∠DGB1=∠CB1F.

∵∠D=∠C=90°，

∴△FCB1∽△B1DG.

设FC=x，则B1F=BF=3﹣x，

∴x2+12=（3﹣x）2，

∴.

∵△FCB1∽△B1DG，

∴△FCB1和△B1DG的周长之比=FC：DB1=：1．