Question

已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．

（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；

（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；

（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．

Answer

（1）AC=；（2）cot∠ABD=；（3）S△ACD=．

【解析】（1）由AC=BD知 ，得，根据OD⊥AC知，从而得，即可知∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，利用AF=AOsin∠AOF可得答案；

（2）连接BC，设OF=t，证OF为△ABC中位线及△DEF≌△BEC得BC=DF=2t，由DF=1﹣t可得t=，即可知BC=DF=，继而求得EF=AC=，由余切函数定义可得答案；

（3）先求出BC、CD、AD所对圆心角度数，从而求得BC=AD=、OF=，从而根据三角形面积公式计算可得．

（1）∵OD⊥AC，

∴，∠AFO=90°，

又∵AC=BD，

∴，即，

∴，

∴，

∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，

∵AB=2，

∴AO=BO=1，

∴AF=AOsin∠AOF=1×=，

则AC=2AF=；

（2）如图1，连接BC，

∵AB为直径，OD⊥AC，

∴∠AFO=∠C=90°，

∴OD∥BC，

∴∠D=∠EBC，

∵DE=BE、∠DEF=∠BEC，

∴△DEF≌△BEC（ASA），

∴BC=DF、EC=EF，

又∵AO=OB，

∴OF是△ABC的中位线，

设OF=t，则BC=DF=2t，

∵DF=DO﹣OF=1﹣t，

∴1﹣t=2t，

解得：t=，

则DF=BC=、AC==，

∴EF=FC=AC=，

∵OB=OD，

∴∠ABD=∠D，

则cot∠ABD=cot∠D=；

（3）如图2，

∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，

∴∠BOC=、∠AOD=∠COD=，

则+2×=180，

解得：n=4，

∴∠BOC=90°、∠AOD=∠COD=45°，

∴BC=AC=，

∵∠AFO=90°，

∴OF=AOcos∠AOF=，

则DF=OD﹣OF=1﹣，

∴S△ACD=AC•DF=××（1﹣）=．