Question

如图，已知，A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），D为B点关于AC的对称点，反比例函数y= 的图象经过D点．

（1）证明四边形ABCD为菱形；

（2）求此反比例函数的解析式；

（3）已知在y=的图象（x＞0）上一点N，y轴正半轴上一点M，且四边形ABMN是平行四边形，求M点的坐标．

Answer

（1）证明见解析；（2）反比例函数的解析式为；（3）M点的坐标为.

【解析】试题（1）由A（0，4），B（-3，0），C（2，0），利用勾股定理可求得AB=5=BC，又由D为B点关于AC的对称点，可得AB=AD，BC=DC，即可证得AB=AD=CD=CB，继而证得四边形ABCD为菱形；

（2）由四边形ABCD为菱形，可求得点D的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式；

（3）由四边形ABMN是平行四边形，根据平移的性质，可求得点N的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点N的坐标，继而求得M点的坐标．

试题解析：（1）∵A(O，4)，B(-3，0)，C(2，0)，

∴OA=4,OB=3 ,OC=2,

∴，BC=5，

∴AB=BC.

∵D为B点关于AC的对称点，

∴AB=AD，CB=CD，

∴AB=AD=CD=CB.

∴四边形ABCD为菱形.

（2）∵四边形ABCD为菱形，

∴D点的坐标为(5,4)，反比例函数的图象经过D点，

∴，

∴k=20，

∴反比例函数的解析式为.

（3）∵四边形ABMN是平行四边形，

∴AN∥BM，AN=BM，

∴AN是BM经过平移得到的.

∴首先BM向右平移了3个单位长度，

∴N点的横坐标为3，代入，得，

∴M点的纵坐标为，

∴M点的坐标为.