Question

如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为BC延长线一点，且BC=CD，CE⊥AD于点E．

（1）求证：直线EC为圆O的切线；

（2）设BE与圆O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，已知∠PCF=∠CBF，PC=5，PF=4，求sin∠PEF的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）说明OC是△BDA的中位线，利用中位线的性质，得到∠OCE=∠CED=90°，从而得到CE是圆O的切线．

（2）利用直径上的圆周角，得到△PEF是直角三角形，利用角相等，可得到△PEF∽△PEA、△PCF∽△PAC，从而得到PC=PE=5．然后求出sin∠PEF的值．

（1）证明：∵CE⊥AD于点E

∴∠DEC=90°，

∵BC=CD，

∴C是BD的中点，又∵O是AB的中点，

∴OC是△BDA的中位线，

∴OC∥AD

∴∠OCE=∠CED=90°

∴OC⊥CE，又∵点C在圆上，

∴CE是圆O的切线．

（2）连接AC

∵AB是直径，点F在圆上

∴∠AFB=∠PFE=90°=∠CEA

∵∠EPF=∠EPA

∴△PEF∽△PAE

∴PE2=PF×PA

∵∠FBC=∠PCF=∠CAF

又∵∠CPF=∠CPA

∴△PCF∽△PAC

∴PC2=PF×PA

∴PE=PC

在直角△PEF中，sin∠PEF=．